Question

下列一些关于数列{a_n}的命题：
①若{a_n}既是等差数列，又是等比数列，则{a_n}一定是常数数列；
②若{a_n}是等比数列，则数列{a_n+a_n+1}一定也是等比数列；
③若{a_n}满足递推公式a_n+1=a_n•q，则{a_n}一定是等比数列；
④若{a_n}的前n项和S_n=qⁿ-1，则{a_n}一定是等比数列．
其中正确的有

 

（填写序号）

Answer 1

考点：等比关系的确定,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：①若{a_n}既是等差数列，设设其公差为d，则2a₂=a₁+a₃，又是等比数列，则a22=a₁•a₃，可求得d=0，于是知{a_n}一定是常数数列；
②若{a_n}是等比数列，不妨令a_n=（-1）ⁿ，则a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹，从而可判断则数列{a_n+a_n+1}不是等比数列；
③若{a_n}满足递推公式a_n+1=a_n•q，则当q=0时，{a_n}不是等比数列；
④若{a_n}的前n项和S_n=qⁿ-1，当q=1时，易知{a_n}不是等比数列．

解答： 解：①若{a_n}既是等差数列（设其公差为d），又是等比数列，则2a₂=a₁+a₃，a22=a₁•a₃，
所以，（a₁+d）²=a₁（a₁+2d），解得d=0，故{a_n}一定是常数数列，①正确；
②若{a_n}是等比数列，不妨令a_n=（-1）ⁿ，则a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹，
所以，a_n+a_n+1=0，
所以数列{a_n+a_n+1}不是等比数列，即②错误；
③若{a_n}满足递推公式a_n+1=a_n•q，当q=0时，数列{a_n}不是等比数列，故③错误；
④若{a_n}的前n项和S_n=qⁿ-1，当q=1时，a_n=0，显然{a_n}不是等比数列，故④错误．
综上所述，正确的有①，
故答案为：①．

点评：本题考查等差关系与等比关系的确定，特别是等边关系的确定，对定义的深刻理解与灵活应用是关键，属于中档题．