Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形且PD=AD=2，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点M到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PB的中点E，并连接NE，ME，容易证明DN∥ME，所以DN∥平面PMB；
（2）容易证明BM⊥AD，又PD⊥底面ABCD，BM?平面ABCD，所以PD⊥BM，即BM⊥PD，所以BM⊥平面PAD，所以得到平面PMB⊥平面PAD；
（3）连接MC，PM，容易由图形看出三棱锥M-PBC的体积等于三棱锥P-MBC的体积，而三棱锥P-MBC的体积容易求出，而三棱锥M-PBC的底面积S_△PBC能够求出，根据体积相等便能得到三棱锥M-PBC的高，即M到平面PBC的距离．

解答： 解：（1）如图，取PB中点E，连接NE，ME，则NE∥DM，且NE=DM，∴四边形DNEM为平行四边形；
DN∥ME，且ME?平面PMB，DN?平面PMB；
∴DN∥平面PMB；
（2）连接BD，∵∠A=60°，AB=AD，所以△ABD是等边三角形，M是AD中点；
∴BM⊥AD，又PD⊥底面ABCD，BM?底面ABCD，∴PD⊥BM，即BM⊥PD，PD∩AD=D；
∴BM⊥平面PAD，BM?平面PMB；
∴平面PMB⊥平面PAD；
（3）连接PM，MC，由图形可以看出V_{三棱锥M-PBC}=V_{三棱锥P-MBC}；
由（2）知BM⊥AD，AD∥BC，∴BM⊥BC，且BM=2sin60°=

3

；
并且由已知条件知PD是三棱锥P-MBC的高；
∴V三棱锥P-MBC=

1

3

•

3

•2=

2 3

3

；
容易求出PB=PC=2

2

，∴S△PBC=

1

2

•2•

8-1

=

7

；
若设点M到平面PBC的距离为h，则：

1

3

•

7

•h=

2 3

3

，∴h=

2 21

7

；
即点M到平面PBC的距离为

2 21

7

．

点评：考查中位线的性质，线面平行的判定定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，三棱锥的体积公式．