Question

15．若数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别是a_n=（-1）²⁰¹⁷•a，b_n=2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2018}}}}{n}且{a_n}＜{b_n}$对任意n∈N^*恒成立，则常数a的取值范围是[-2，1）．

Answer 1

分析 讨论n取奇数和偶数时，利用不等式恒成立，即可确定a的取值范围．

解答 解：∵a_n=（-1）²⁰¹⁷•a，b_n=2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2018}}}}{n}且{a_n}＜{b_n}$对任意n∈N^*恒成立，
∴（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁷•a＜2+$\frac{（-1）^{n+2018}}{n}$，
若n为偶数，则不等式等价为-a＜2+$\frac{1}{n}$，即-a≤2，即a≥-2．
若n为奇数，则不等式等价为a＜2-$\frac{1}{n}$，即a＜1，
综上：-2≤a＜1，
即常数a的取值范围是[-2，1），
故答案为：[-2，1），

点评 本题主要考查了数列与不等式的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题