Question

6．设函数f（x）=（x²+2）lnx，g（x）=2x²+ax，a∈R
（1）证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），当x∈[1，+∞）时，F（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＜$\frac{{（x}^{2}+2）lnx-{2x}^{2}}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，设$G（x）=\frac{{（{x^2}+2）lnx-2{x^2}}}{x}$，根据函数的单调性求出G（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）证明：$f'（x）=2xlnx+x+\frac{2}{x}$，
∵x＞1，∴lnx＞0，∴$2xlnx+x+\frac{2}{x}＞0$，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）由F（x）=f（x）-g（x）=（x²+2）lnx-2x²-ax＞0得：
a＜$\frac{{（x}^{2}+2）lnx-{2x}^{2}}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，
设$G（x）=\frac{{（{x^2}+2）lnx-2{x^2}}}{x}$，则$G'（x）=\frac{{（{x^2}-2）（lnx-1）}}{x^2}$，
所以G（x）在$（1，\sqrt{2}）$递增，$（\sqrt{2}，e）$递减，（e，+∞）递增，
所以G（x）的最小值为G（1），G（e）中较小的，$G（e）-G（1）=\frac{2}{e}-e+2＞0$，
所以：G（e）＞G（1），即：G（x）在x∈[1，+∞）的最小值为G（1）=-2，
只需a＜-2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．