Question

20．设函数f′（x）是奇函数y=f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （0，1）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知当x＞0时总有xf′（x）+f（x）＞0成立，可判断函数g（x）为增函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，而不等式f（x）＞0等价于xg（x）＞0，分类讨论即可求出

解答 解：设g（x）=xf（x），则g（x）的导数为：g′（x）=f（x）+xf′（x）
∵当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，
即当x＞0时，g′（x）恒大于0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（-1）=-1×f（-1）=0，
∵f（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，
∴当x＞0时，g（x）＞0=g（1），当x＜0时，g（x）＜0=g（-1），
∴x＞1或-1＜x＜0
故使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（-1，0）∪（1，+∞），
故选：D．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．