Question

已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线，x₀∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=

 

；A=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：由周期公式求得ω，再由曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线x₀∈[0，π）]有且只有两条直线互相垂直，可知其导函数的最大值为1，由此求得A的值．

解答： 解：∵函数f（x）=Asin（xω+φ）的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，即ω=2．
∴f（x）=Asin（2x+φ），
f′（x）=2Acos（2x+φ），
∵曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线x₀∈[0，π）]有且只有两条直线互相垂直，
∴f′（x）=2Acos（2x+φ）的最大值为1，即A=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处切线方程，考查了简单复合函数的导数的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．