Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点分别为A（a，0）、F（c，0），若在直线x=-

a2

c

上存在点P使得∠APF=30°．则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  3+ 17

  2

  ]
• B、[

  3+ 17

  2

  ，+∞）
• C、（1，4]
• D、[4，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先运用正弦定理，求得圆的半径r=c-a，再由直角三角形求得圆B的方程，所求圆恰好经过A，F，则原题等价于直线x=-

a2

c

与圆B存在公共点，即有

a+c

2

+

a2

c

≤c-a，由离心率公式，解不等式即可得到．

解答： 解：由A（a，0）、F（c，0），
则|AF|=c-a，
由正弦定理可得，2r=

|AF|

sin30°

=2（c-a），即有r=c-a，
且圆心B在x=

a+c

2

上，
当△AFQ为直角三角形，且∠AQF=30°，∠QAF=90°时，可得B的纵坐标为

3

2

（c-a）．
故以B(

a+c

2

，

3 (c-a)

2

)为圆心、c-a为半径的圆B恰好经过A、F两点，
且圆B上的点Q即为使得∠AQF=30°的所有点，
所以原题等价于直线x=-

a2

c

与圆B存在公共点，
即

a+c

2

+

a2

c

≤c-a⇒e²-3e-2≥0
⇒e≥

3+ 17

2

，或e≤

3- 17

2

（舍去）．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆的关系，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．