Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为

3

6

a，则

c

b

+

b

c

取得最大值时，内角A的值为（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  π

  6

• C、

  2π

  3

• D、

  π

  3

Answer 1

考点：正弦定理,基本不等式

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：利用三角形的面积计算公式可得

1

2

×

3

6

a²=

1

2

bcsinA即a²=2

3

bcsinA，利用余弦定理及已知可得

c

b

+

b

c

=4sin（A+

π

6

）≤4，从而可解得A的值．

解答： 解：∵

1

2

×

3

6

a²=

1

2

bcsinA，
∴a²=2

3

bcsinA．
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴b²+c²=a²+2bccosA=2

3

bcsinA+2bccosA
∴

c

b

+

b

c

=

b2+c2

bc

=2

3

sinA+2cosA=4sin（A+

π

6

）≤4，
∴

c

b

+

b

c

的最大值是4时有A+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴可解得：A=2kπ+

π

3

，k∈Z
∵0＜A＜π
∴A=

π

3

故选：D．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．