Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（

2

，

π

4

），半径r=

2

，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

可把圆C的圆心的极坐标化为直角坐标，即可得出圆的直角坐标方程．
（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（-2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|²=|PC|²-r²．利用切割线定理可得|PA|•|PB|=|PD|²．

解答： 解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（

2

，

π

4

），
∴x=

2

sin

π

4

=1，y=

2

cos

π

4

=1，
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（-2，0）．
当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|²=|PC|²-r²=（-2-1）²+（0-1）²-(

2

)2=8．
∴|PA|•|PB|=|PD|²=8．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、圆的方程、切割线定理，考查了计算能力，属于基础题．