Question

已知函数f（x）=x³+ax²-9x+1，下列结论中错误的是（　　）

• A、?x₀∈R，f（x₀）=0
• B、“a=3”是“-3为f（x）的极大值点”的充分不必要条件
• C、若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（x₀，+∞）单调递增
• D、若3是f（x）的极值点，则f（x）的单调递减区间是（-1，3）

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：f′（x）=3x²+2ax-9，由△＞0，可得f′（x）=0有两个不相等的实数根，设x₁，x₂是两个实数根，且x₁＜x₂．
则函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减．即可判断出A，C是否正确．
对于D：若3是f（x）的极值点，可得f′（3）=0，a=-3，则f′（x）=3（x+1）（x-3），即可判断出．
对于B．a=3时，f′（x）=3（x-1）（x+3）?-3为f（x）的极大值点．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax-9，∵△=4a²+108＞0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，
设x₁，x₂是两个实数根，且x₁＜x₂．
则函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减．
可得A，C正确．
对于D：若3是f（x）的极值点，f′（3）=0，解得a=-3，则f′（x）=3（x+1）（x-3），
可得f（x）的单调递减区间是（-1，3），正确．
对于B．a=3时，f′（x）=3（x-1）（x+3），可得-3为f（x）的极大值点，
因此“a=3”是“-3为f（x）的极大值点”的充要条件．
综上可得：只有B是错误的．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．