Question

17．三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离．

解答 解：由题意，V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•PB•PC≤\frac{1}{3}（PB+PC）^{2}$=$\frac{16}{3}$，
当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，
如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，
则CD=2R，即PA²+PB²+PC²=4R²=9，可得R=$\frac{3}{2}$，
因为AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，
所以cos∠ACB=$\frac{5+8-5}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，sin∠ACB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
△ABC外接圆的半径为r=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
设球心到平面ABC的距离为d，
所以d=$\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{75}{36}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选B．

点评 本题考查球心O到平面ABC的距离，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．