Question

7．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．
（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2^x是否为位差奇函数？说明理由；
（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为$\frac{π}{4}$的位差奇函数，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx对任意属于区间$[-\frac{1}{2}，+∞）$中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）-g（m）=2^x+m-2^m=2^m（2^x-1）即可，
 （2）依题意，$f（x+\frac{π}{4}）-f（\frac{π}{4}）=sin（x+\frac{π}{4}+φ）-sin（\frac{π}{4}+φ）$是奇函数，求出φ；
（3）记h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³+b（x+m）²+c（x+m）-m³-bm²-cm=x³+（3m+b）x²+（3m²+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时$b=-3m≤\frac{3}{2}$．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需$b＞\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）-f（m）=2（x+m）+1-（2m+1）=2x，
∴对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，
即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；
对于g（x）=2^x，记h（x）=g（x+m）-g（m）=2^x+m-2^m=2^m（2^x-1），
由h（x）+h（-x）=2^m（2^x-1）+2^m（2^-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，
∴对任意实数m，g（x+m）-g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；
（2）依题意，$f（x+\frac{π}{4}）-f（\frac{π}{4}）=sin（x+\frac{π}{4}+φ）-sin（\frac{π}{4}+φ）$是奇函数，
∴$\frac{π}{4}+φ=kπ⇒φ=kπ-\frac{π}{4}$（k∈Z）．
（3）记h（x）=f（x+m）-f（m）=（x+m）³+b（x+m）²+c（x+m）-m³-bm²-cm
=x³+（3m+b）x²+（3m²+2bm+c）x．
依题意，h（x）对任意$m∈[-\frac{1}{2}，+∞）$都不是奇函数，
若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时$b=-3m≤\frac{3}{2}$．
故要使h（x）不是奇函数，必须且只需$b＞\frac{3}{2}$，且c∈R．

点评 本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．