Question

16．等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{c_n}为等比数列，c₁=1，且c₂S₂=64，c₃S₃=960．
（1）求a_n与c_n；
（2）求$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，等比数列{b_n}的公比为q，由a₁=3，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．可得q（6+d）=64，q²（9+3d）=960，解得d，q．即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=n（n+2）．可得$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出答案．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，{c_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，c_n=q^n-1，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{2}{S}_{2}=（6+d）q=64}\\{{c}_{3}{S}_{3}=（9+3d）{q}^{2}=960}\end{array}\right.$，①
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{6}{5}}\\{q=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，（舍去）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，c_n=8^n-1，
数列a_n=2n+1，c_n=8^n-1；
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$，
∴$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．