Question

11．已知数列{a_n}的通项a_n=10n+5，n∈N ^*，其前n项和为S_n，令${T_n}=\frac{S_n}{{5•{2^n}}}$，若对一切正整数n，总有T_n≤m成立，则实数m的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 不存在

Answer 1

分析 数列{a_n}的通项a_n=10n+5，n∈N ^*，其前n项和为S_n=5n²+10n．可得${T_n}=\frac{S_n}{{5•{2^n}}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$，作差T_n+1-T_n，利用其单调性即可得出．

解答 解：数列{a_n}的通项a_n=10n+5，n∈N ^*，
其前n项和为S_n=$\frac{n（15+10n+5）}{2}$=5n²+10n．
${T_n}=\frac{S_n}{{5•{2^n}}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$，
T_n+1-T_n=$\frac{（n+1）^{2}+2（n+1）}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{n}^{2}+2n}{{2}^{n}}$=$\frac{-{n}^{2}+3}{{2}^{n+1}}$，
可得：T₁＜T₂＞T₃＞T₄＞…．
可得T_n的最大值为T₂．
∵对一切正整数n，总有T_n≤m成立，则实数m≥T₂=2．
∴m的最小值是2．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、作差法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．