Question

8．若（x²-3x+2）⁵=${a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_{10}}{x^{10}}$
（1）求a₂
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a₁₀
（3）求$（{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}+{a_8}{+_{10}}{）^2}$-$（{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}+{a_9}{）^2}$．

Answer 1

分析 （1）（x²-3x+2）⁵的本质是5个x²-3x+2相乘，由多项式的乘法法则，产生x²的项有两种可能：一个算式取x²的项，其他4个取常数项，得到${∁}_{5}^{1}×{2}^{4}$=80；两个算式取x的项，其他3个取常数项，得到$C_5^2（-3{）^2}{2^3}=720$，可得a₂．
（2）令f（x）=（x²-3x+2）⁵=${a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，a₀=f（0），a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=f（1），即可得出．
（3）原式=（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₉+a₁₀）=f（1）f（-1）．

解答 解：（1）（x²-3x+2）⁵的本质是5个x²-3x+2相乘，由多项式的乘法法则，产生x²的项有两种可能：一个算式取x²的项，其他4个取常数项，得到${∁}_{5}^{1}×{2}^{4}$=80；两个算式取x的项，其他3个取常数项，得到$C_5^2（-3{）^2}{2^3}=720$，所以a₂=80+720=800…（4分）
（2）令f（x）=（x²-3x+2）⁵=${a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，
a₀=f（0）=2⁵=32，
a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=f（1）=0，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=-32…（8分）
（3）原式=（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₉+a₁₀）=f（1）f（-1）=0…（12分）

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用、方程思想、多项式乘法法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．