Question

4．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），且f（4）-f（2）=1．
（1）若f（3m-3）＜f（2m+1），求实数m的取值范围；
（2）求使$f（x+\frac{2}{x}）={log_2}3$成立的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用对数的运算性质解方程得出a，再利用f（x）的单调性列方程组解出m；
（2）由题设可知x+$\frac{2}{x}$=3，解方程得出x的值．

解答 解：（1）∵f（4）-f（2）=1，∴log_a4-log_a2=log_a2=1．
∴a=2，∴f（x）=log₂x．
∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∵f（3m-3）＜f（2m+1），∴$\left\{\begin{array}{l}3m-3＞0\\ 2m+1＞0\\ 3m-3＜2m+1\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜4．
（2）∵f（x+$\frac{2}{x}$）=log₂（x+$\frac{2}{x}$）=log₂3，∴x+$\frac{2}{x}$=3，
解得x=1或x=2．

点评 本题考查了对数的运算性质，对数函数的性质，属于中档题．