Question

设常数a＞0，则
（1）函数f（x）=

2x+a

2x-a

的值域为

 

；
（2）若函数f（x）=

2x+a

2x-a

为奇函数，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）先将函数式变形为部分分式，再利用分式不为0的特征得到函数的值域；（2）利用函数奇偶性的定义，得到关于x的恒等式，研究恒等式，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵a＞0，
∴函数f（x）=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

≠1，
∴函数f（x）=

2x+a

2x-a

的值域为（-∞，1）∪（1，+∞）．
（2）∵函数f（x）=

2x+a

2x-a

为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∴

2-x+a

2-x-a

=-

2x+a

2x-a

，
∴2（a²-1）2^x=0，
∴a²=1，
∵常数a＞0，
∴a=1．
故答案为：（1）（-∞，1）∪（1，+∞）；（2）1．

点评：本题考查了函数的值域和函数奇偶性的应用，本题难度不大，属于基础题．