Question

某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）
（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的关系式；
（2）设y-1=t（t≥0.5），则原式l=4t+

1.5

t

+5.5，利用基本不等式求出结果．

解答： 解：（1）由CD=x，则BD=x-0.5，设BC=y，
则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，
在△BCD中，由余弦定理x²+y²-2xycos60°=（x-0.5）²，
化简得 y²-xy+x-0.25=0，即x=

y2-0.25

y-1

     ①…（4分）
记l=y+y+x-0.5+x=2y+2x-0.5=

4y2-2y-0.5

y-1

-0.5（-0.5＜x＜0.5或x＞1）---------（6分）
（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y-1=t（t≥0.5）
则原式l=4t+

1.5

t

+5.5                …（10分）
∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+

1.5

t

≥2

6

有且仅当4t=

1.5

t

，即t=

6

4

时成立，
∴y=

6

4

+1，∴x=

3 6 +8

4

，
∴当AB=

6

2

+2，CD=

8+3 6

4

时，金属支架总长度最短． …（16分）

点评：本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式，考查函数的最值问题，是中档题．