Question

已知f（x）=|ax+1|，a≠0，不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}
（1）求a的值；
（2）若g（x）=

f(x)+f(-x)

2

，g（x）＜|k|存在实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由|ax+1|≤3得：-4≤ax≤2；分a＞0与a＜0讨论，结合已知原不等式的解集是{x|-1≤x≤2}，即可求得a的值；
（2）易求g（x）=|x-

1

2

|+|x+

1

2

，依题意，g（x）＜|k|存在实数解，只需|k|大于g（x）的最小值，而g（x）=|x-

1

2

|+|x+

1

2

，≥|x-

1

2

-（x+

1

2

）|=1，从而去解不等式|k|＞1即可．

解答： 解：（1）由|ax+1|≤3得：-4≤ax≤2；
当a＞0时，-

4

a

≤x≤

2

a

，∵原不等式的解集是{x|-1≤x≤2}，
∴

- 4 a =-1 2 a =2

，该方程组无解；
当a＜0时，

2

a

≤x≤-

4

a

，原不等式的解集是{x|-1≤x≤2}，
∴

2 a =-1 - 4 a =2

，解得a=-2．…（5分）
（2）由题：g（x）=

f(x)+f(-x)

2

=

|-2x+1|+|2x+1|

2

=|x-

1

2

|+|x+

1

2

|，
因为g（x）＜|k|存在实数解，只需|k|大于g（x）的最小值，
由绝对值的几何意义，g（x）=|x-

1

2

|+|x+

1

2

|≥|x-

1

2

-（x+

1

2

）|=1，所以|k|＞1．
解得：k＜-1或k＞1…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．