Question

设函数f（x）=x³-3x²-9x+a
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的取值范围；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，即3x²-6x-9-m≥0恒成立，借助二次函数的图象性质，即可得出结论；
（2）转化为求函数的极值问题解决，利用导数解得函数的极值，即得结论．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x-1）（x-3）
因为x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，即3x²-6x-9-m≥0恒成立，
所以△=36-12（-9-m）≤0，得m≤-12；
（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＞3时，f′（x）＞0；
所以，当x=1时，f（x）取极大值f（1）=a-11；
当x=3时，f（x）取极小值f（3）=a-27；
故当f（3）＞0 或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根，
解得a＜11或a＞27．

点评：本题主要考查二次函数的性质及恒成立问题、方程的根问题的处理策略，考查利用导数研究函数的极值的知识，属中档题．