Question

在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC=2，BC=2

2

，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D
（Ⅱ）在棱BC上是否存在一点P，使平面APC₁与平面A₁AB所成二面角（锐角）的余弦值为

3

3

？若存在，确定P的位置，并证明之；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I） 连接A₁C，设与AC₁交于点E，连接ED，通过证明ED∥A₁B，利用直线与平面平行的判定定理证明A₁B∥平面AC₁D；
（II）以A为顶点建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面ADC₁的法向量、平面A₁AB的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面APC₁与平面A₁AB所成二面角（锐角）的余弦值为

3

3

，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：连接A₁C，设与AC₁交于点E，连接ED
在△A₁BC中，E为A₁C的中点，D为BC的中点
∴ED∥A₁B…（3分）
∵A₁B?平面AC₁D，ED?平面AC₁D
∴A₁B∥平面AC₁D…（5分）
（Ⅱ）解：当点P为棱BC的中点时，平面APC₁与平面A₁AB所成二面角（锐角）的余弦值为

3

3

…（6分）
证明：∵A₁A⊥平面ABC
又∵AB=AC=2，BC=2

2

∴AB⊥AC
以A为顶点建立空间直角坐标系A-xyz        …（7分）
设P（x，y，0）
由

BP

=λ

BC

，（0≤λ≤1）得P（2-2λ，2λ，0）
∴

AP

=（（2-2λ，2λ，0），

AC1

=（0，2，2）
设平面ADC₁的法向量

n1

=（x，y，z），则

(2-2λ)x+2λy=0 2y+2z=0

可取

n1

=（

λ

λ-1

，1，-1）…（10分）
平面A₁AB的法向量

n2

=（0，1，0）
由|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

3

3

可得λ=

1

2

即点P为棱BC的中点时，平面ADC₁与平面A₁AB所成二面角（锐角）的余弦值为

3

3

…（13分）

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合问题，考查直线与平面平行的判定定理，属于中档题．