Question

如图，圆O为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）设PA⊥AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P-MBC的体积；
（3）在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BC⊥AB，BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．
（2）由已知得BC=

3

，S_△ABC=

3

2

，PA⊥平面ABC，由此能求出三棱锥P-MBC的体积．
（3）取AB的中点D，连结OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O，D外）任意一点即可使得MN∥平面PBC．由已知得MD∥PB，MO∥PC，从而平面MDO∥平面PBC，由此能证明MN∥平面PBC．

解答： （1）证明：如图，∵AC是圆O的直径，∴BC⊥AB，
∵BC⊥PA，又PA、AB?平面PAB，且PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BC⊥PB．
（2）解：如图，在Rt△ABC中，AC=2，AB=1，
∴BC=

3

，∴S_△ABC=

3

2

，
∵PA⊥BC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，
∴V_P-MBC=V_P-ABC-V_M-ABC
=

1

3

×

3

2

×2-

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．
（3）解：如图，取AB的中点D，连结OD、MD、OM，
则N为线段OD（除端点O，D外）任意一点即可使得MN∥平面PBC．
理由如下：
∵M、O、D分别是PA、AC、AB的中点，
∴MD∥PB，MO∥PC，
∵MD?平面PBC，PB?平面PBC，∴MD∥平面PBC，
同理，得MO∥平面PBC，
∵MD、MO?平面MDO，MD∩MO=M，
∴平面MDO∥平面PBC，
∵MN?平面MDO，∴MN∥平面PBC．

点评：本题考查异面直线竽的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC的判断与证明，解题时要注意空间思维能力的培养．