Question

已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x²+5y²=5的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sinB-sinA=

1

2

sinC，
（1）求|AB|；
（2）求顶点C的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,正弦定理

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆x²+5y²=5化为

x2

5

+y2=1．可得a²=5，b=1，c²=4．即可得到A（-2，0），B（2，0），|AB|．
（2）由sinB-sinA=

1

2

sinC，由正弦定理可得：|CA|-|CB|=

1

2

|AB|=2＜|AB|．即可得到顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．

解答： 解：（1）椭圆x²+5y²=5化为

x2

5

+y2=1．
可得a²=5，b=1，c²=4．
A（-2，0），B（2，0），|AB|=4．
（2）∵sinB-sinA=

1

2

sinC，
由正弦定理可得：|CA|-|CB|=

1

2

|AB|=2＜|AB|．
∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
其方程为x2-

y2

3

=1（x≥1）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．