Question

已知数列{a_n}的前n项和满足a_n+1=

1

3

S_n，且a₁=

1

4

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用地推关系证明数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式．
（2）先构造数列然后利用乘公比错位相减法求数列的和，进一步求出结果．

解答： 解：（1）已知an+1=

1

3

Sn①
则：an=

1

3

Sn-1②
①-②得：an+1-an=

1

3

an
整理得：

an+1

an

=

4

3

（常数）
所以：{a_n}是以a1=

1

4

为首项

4

3

为公比的等比数列．
an=

1

4

(

4

3

)n-1
（2）由（1）得：an=

1

4

(

4

3

)n-1
则：bn=nan=

n

4

(

4

3

)n-1=

1

4

[n•(

4

3

)n-1]
设cn=n•(

4

3

)n-1
则S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•(

4

3

)0+2•(

4

3

)1+…+n•(

4

3

)n-1③

4

3

Sn=1•(

4

3

)1+2(

4

3

)2+…+n•(

4

3

)n④
所以：③-④得：
（1-

4

3

)Sn=S_n=

1-( 4 3 )n

1- 4 3

-n•(

4

3

)n
解得：Sn=9+(3n-9)(

4

3

)n
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

Sn=

9

4

+

(3n-9)( 4 3 )n

4

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，构造新数列然后利用错位相减法求数列的和．属于基础题型．