Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，数列{b_n}满足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）证明{a_n}为等比数列；
（2）求T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=3-1=2，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

•3n，由此能证明{a_n}为首项为2，公比为3的等比数列．
（2）由已知得

bn

3n

=

bn-1

3n-1

+

2

3

，从而{

bn

3n

}是首项为

1

3

，公差为

2

3

的等差数列，进而b_n=（2n-1）•3^n-1，由此利用错位相减法能求出T_n=（n+1）•3ⁿ+1．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，
∴n=1时，a₁=S₁=3-1=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=

2

3

•3n，
当n=1时，上式成立，
∴an=

2

3

•3n=2•3n-1，n∈N^*，

an+1

an

=

2•3n

2•3n-1

=3，
∴{a_n}为首项为2，公比为3的等比数列．
（2）解：∵数列{b_n}满足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），
∴n≥2时，b_n=3b_n-1+2•3^n-1，
∴

bn

3n

=

bn-1

3n-1

+

2

3

，
又

b1

3

=

1

3

，∴{

bn

3n

}是首项为

1

3

，公差为

2

3

的等差数列，
∴

bn

3n

=

1

3

+(n-1)×

2

3

=

2

3

n-

1

3

，
∴b_n=（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得-2T_n=1+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ
=-2-（2n-2）•3ⁿ，
∴T_n=（n+1）•3ⁿ+1．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．