Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1），若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：构造函数h（x）=xlnx-kx+k，由导数求得函数h（x）的最小值，再由其最小值大于等于0得到k-e^k-1=0，由此求得k值．

解答： 解：令h（x）=xlnx-kx+k，则h′（x）=1+lnx-k，
当x∈（0，e^k-1）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，e^k-1）上是减函数；
当x∈（e^k-1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（e^k-1，+∞）上是增函数，
∴h（x）≥h（e^k-1）=k-e^k-1，
要使f（x）≥g（x）恒成立，则k-e^k-1≥0，
令t（k）=k-e^k-1，则t′（k）=1-e^k-1，
∴t（k）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴t（k）≤t（1）=0，
∴k-e^k-1≤0，
∴k-e^k-1=0，∴k=1．
故使f（x）≥g（x）恒成立的实数k的值是1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，解答此题的关键是构造函数h（x），把问题转化为由h（x）的最小值大于等于0求k值，属有一定难度题目．