Question

已知f（x）=sinx（cosx-sinx），x∈R．
（1）求f（x）的最大值和单调增区间；
（2）若a∈（0，

π

2

），f（a）=

2 -2

4

，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的倍角公式将函数进行化简即可求f（x）的最大值和单调增区间；
（2）若a∈（0，

π

2

），求出f（a）=

2 -2

4

，得sin（2α+

π

4

）=

1

2

，解方程即可求a的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sin²x）=

1

2

sin2x-

1-cos2x

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x-

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
当sin（2x+

π

4

）=1时，函数f（x）取得最大值，即f（x）的最大值为

2

2

-

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
即函数的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）f（a）=

2

2

sin（2α+

π

4

）-

1

2

=

2 -2

4

，
即sin（2α+

π

4

）=

1

2

，
若a∈（0，

π

2

），则2α+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

），
∴2α+

π

4

=

5π

6

，解得α=

7π

24

．

点评：本题主要考查三角函数的最值和单调区间的求解，根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键，要求熟练三角函数的图象和性质．