Question

将各项均为正数的数列{a_n}排成如图所示的三角形数阵（第n行有n个数，同一行下标小的排在左边）．b_n表示数阵中第n行第1列的数．
已知数列{b_n}为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列，a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34．
（1）求数阵中第m行第n列（m，n∈N⁺且m≥3，n≤m）的数A_mn（用m，n表示）；
（2）试问a₂₀₁₅处在数阵中第几行第几列？
（3）试问这个数列中是否有2015这个数？有求出具体位置，没有说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意和等差、等比数列的通项公式，列出关于公差d和公比q的方程组，求出q、d的值、b_n，由题意和等差、等比数列的通项公式求出A_mn的表达式；
（2）由图表得到每一行中数的个数，由等差数列的求和公式求出前62、63行数的个数，从而确定a₂₀₁₅为数阵中第63行第62列的数；
（3）假设2015为数阵中第m行第n列的数，由数的规律列出不等式，再取特值进行验证，从而确定不等式没有整数解，即可说明2015不在该数阵中．

解答： 解：（1）设公比为q，公差为d，
由题意知：a₁=1，a₁₂=17，a₁₈=34，
所以b₁=a₁=1，则

a12=q4+d=17 a18=q5+2d=34

，…2分
解得：q=2、d=1，则b_n=2^n-1，
所以A_mn=b_m+（n-1）d=2^n-1+n-1…4分
（2）由表格知：每一行中有n个数，
因为1+2+3+…+62=

62(1+62)

2

=1953，1+2+3+…+63=1953+63=2016…6分
所以2015-1953=62…8分
则a₂₀₁₅为数阵中第63行第62列的数．…10分
（3）假设2015为数阵中第m行第n列的数，
由第m行最小的数为2^m-1，最大的数为2^m-1+m-1，
所以2^m-1≤2015≤2^m-1+m-1，…14分
当m≤11时，2^m-1+m-1≤2¹⁰+10=1034＜2013；…16分
当m≥12时，2^m-1≥2¹¹=2048＞2015，
于是，不等式2^m-1≤2015≤2^m-1+m-1没有整数解，
所以2015不在该数阵中．…18分．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式，归纳法的应用，考查综合分析问题和解决问题的能力，解答此题要有很好的耐心，考查了逻辑思维能力和运算能力，是难度非常大的少见题目．