Question

已知函数f（x）=|x-1|
（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：

f(ab)

|a|

＞f(

b

a

)．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用,推理和证明

分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=

-3x-2，x＜-3 4-x，-3≤x＜ 1 2 3x+2，x≥ 1 2

，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．
（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，

f(ab)

|a|

＞f(

b

a

)?f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，要证该不等式成立，只需证明|ab-1|²-|a-b|²＞0即可．

解答： （Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=

-3x-2，x＜-3 4-x，-3≤x＜ 1 2 3x+2，x≥ 1 2

，
当x＜-3时，由-3x-2≥8，解得x≤-

10

3

；
当-3≤x＜

1

2

时，由-x+4≥8，解得x∈∅；
当x≥

1

2

时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分
所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤-

10

3

或x≥2}…5分；
（Ⅱ）证明：

f(ab)

|a|

＞f(

b

a

)等价于f（ab）＞|a|f（

b

a

），即|ab-1|＞|a-b|，
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以，|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立…10分．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．