题目内容

3．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：
喜欢游泳不喜欢游泳合计
男生10
女生20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为$\frac{3}{5}$．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．
下面是临界值表仅供参考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
参考公式：K2的观测值：$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+2）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）

分析 （1）根据题意，求出对应的数据，填写列联表即可；
（2）根据表中数据，计算观测值K2，对照临界值得出结论；
（3）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．

解答 解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为$\frac{3}{5}$，
所以喜欢游泳的学生人数为100×$\frac{3}{5}$=60人
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：

喜欢游泳不喜欢游泳合计
男生401050
女生203050
合计6040100
（2）根据表中数据，计算K2=$\frac{100{×（40×30-20×10）}^{2}}{60×40×50×50}$≈16.67＞10.828，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；
（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a，b，c，另外2名学生记为1，2，
任取2名学生，则所有可能情况为
（a，b）、（a，c）、（a，1）、（a，2）、（b，c）、（b，1）、（b，2）、
（c，1）、（c，2）、（1，2）共10种；
其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为
（a，1）、（a，2）、（b，1）、（c，1）、（c，2）共6种；
所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是中档题．

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