Question

13．（1）求y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$（x＞-1）的最小值．
（2）已知正数x、y满足$\frac{8}{x}+\frac{1}{y}=1$，则x+2y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由y=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+1}}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$，再利用基本不等式即可求出答案；
（2）先把x+2y转化成x+2y=（x+2y）•（$\frac{8}{x}+\frac{1}{y}$）展开后利用均值不等式求得答案．

解答 解：（1）y=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+1}}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}$=2，
当x+1=$\frac{1}{x+1}$，即x=0时，y最小值为2；
（2）根据题意，由于正数x、y满足$\frac{8}{x}+\frac{1}{y}=1$，
且可知x+2y=（x+2y）（$\frac{8}{x}+\frac{1}{y}$）=10+$\frac{16y}{x}+\frac{x}{y}≥10+2\sqrt{\frac{16y}{x}×\frac{x}{y}}=18$，
当x=4y时取得等号，故可知x+2y的最小值是18．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．