Question

4．已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若P为椭圆C上的任意一点，过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q，M为线段QP的中点，则点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 利用焦点坐标qcc，离心率求出a，然后求解b，求出椭圆方程，然后设出M坐标，转化为P，代入求解即可．

解答 解：椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得c=2，a=2$\sqrt{2}$，则b=2，
椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
设M（x，y）则P（2x，y）代入：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
可得：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
则点M的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，转化思想的应用，考查计算能力．