Question

16．已知圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，E为母线PB的中点，C为底面圆周上一点，满足OB⊥OC，F为弧BC上一点，且∠BOF=$\frac{π}{3}$．
（1）求证EF∥平面POC；
（2）求三棱锥E-OCF的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，取OB的中点M，连接FM，FB，FB．利用等边三角形的性质可得FM⊥OB，又OB⊥OC，可得FM∥OC，可得FM∥平面POC．利用三角形中位线定理可得EM∥OP，可得EM∥平面POC．可得平面EFM∥平面POC．即可证明．
（2）由（1）可得EM⊥平面OBC，EM=$\frac{1}{2}OP$．S_△OCF=$\frac{1}{2}×OC×OF×sin3{0}^{°}$．可得三棱锥E-OCF的体积V=$\frac{1}{3}×EM×{S}_{△OCF}$．

解答 解：（1）如图所示，取OB的中点M，连接FM，FB，FB．
则△OFB为等边三角形，FM⊥OB，又OB⊥OC，
∴FM∥OC，又FM?平面POC，OC?平面POC．
∴FM∥平面POC．
又E为PB的中点，∴EM∥OP，同理可得EM∥平面POC．
又FM∩EM=M．
∴平面EFM∥平面POC．
∴EF∥平面POC．
（2）由（1）可得EM⊥平面OBC，EM=$\frac{1}{2}OP$=2．
S_△OCF=$\frac{1}{2}×OC×OF×sin3{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{1}{2}$=1．
∴三棱锥E-OCF的体积V=$\frac{1}{3}×EM×{S}_{△OCF}$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．