Question

19．已知动点M到定点F（1，0）的距离与点M到定直线m：x=2的距离之比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过定点A（0，2）的动直线l（斜率存在）与C相交于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆，若定点F在此圆内，求出满足条件的直线l的斜率范围．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由题意可得：$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简即可得出．
（2）设L：y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（2k²+1）x²+8kx+6=0，△＞0，由题意可得：$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$＜0，化为：（1+k²）x₁•x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）设M（x，y），由题意可得：$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设L：y=kx+2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（2k²+1）x²+8kx+6=0，
当△＞0时，化为${k}^{2}＞\frac{3}{2}$，解得$k＞\frac{\sqrt{6}}{2}$或k$＜-\frac{\sqrt{6}}{2}$．①
∴x₁+x₂=$\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{6}{2{k}^{2}+1}$，（*）
由题意可得：$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$＜0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
化为：（1+k²）x₁•x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5＜0，把（*）代入上式，解得$k＜-\frac{11}{8}$，②
由①②可得：$k＜-\frac{11}{8}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．