Question

已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-1）的实数x的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、（-2，1）
• C、（-1，2）
• D、（-1，

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．

解答： 解：定义在R上的奇函数f（x），
所以：f（-x）=-f（x）
设f（x）的导函数为f′（x），
当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），
则：xf′（x）+f（x）＜0
即：[xf（x）]′＜0
所以：函数F（x）=xf（x）在（-∞，0）上是单调递减函数．
由于f（x）为奇函数，
令F（x）=xf（x），
则：F（x）为偶函数．
所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
则：满足F（3）＞F（2x-1）满足的条件是：

2x-1＞0 3＞2x-1

解得：

1

2

＜x＜2
所以x的范围是：（

1

2

，2）
故选：A

点评：本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性和奇偶性的应用，构造性函数解不等式组．属于基础题型．