Question

对任意x，y满足f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0，则f（2013）=（　　）

• A、

  2012

  2

• B、

  2013

  2

• C、

  2014

  2

• D、

  2014

  2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，令x=y=0得，f（0）=f（0）+2f²（0）可得f（0）=0，令x=0，y=1可得f（1）=

1

2

；令x=0可得f（y²）=2[f（y）]²，令x=y²，则f（2y²）=2f（y²）+2[f（y）]²=2f（y²）则f（2x）=2f（x）；从而求得
f（2）=2f（1）=1，f（3）=f（2+1）=f（2）+2[f（1）]²=1+

1

2

，迭代法求值．

解答： 解：∵f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+2f²（0），
∴f（0）=0，
令x=0，y=1，
则f（1）=f（0）+2[f（1）]²，
又∵f（1）≠0，
∴f（1）=

1

2

；
令x=0，
则f（y²）=2[f（y）]²，
令x=y²，则f（2y²）=2f（y²）+2[f（y）]²=2f（y²），
故f（2x）=2f（x）；
故f（2）=2f（1）=1；
f（3）=f（2+1）=f（2）+2[f（1）]²=1+

1

2

，
f（4）=f（3）+

1

2

…，
故f（2013）=f（2012）+

1

2

=f（2011）+

1

2

+

1

2

=…=

1

2

×2013=

2013

2

．
故选B．

点评：本题考查了抽象函数的应用，属于难题．