Question

已知椭圆中心在原点一个焦点为F₁（0．-2

2

）椭圆上的点到点F₁的最短距离3-2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于A、B，且线段AB恰好被直线x=-

1

2

平分，若存在，求出直线l的倾斜角α的取值范围；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦点坐标可得c，再由椭圆上的点到点F₁的最短距离为a-c，求出a，再由a，b，c的关系，解得b，进而得到椭圆方程；
（2）假设存在直线l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论．

解答： 解：（1）椭圆中心在原点，一个焦点为F₁（0．-2

2

），则c=2

2

，
椭圆上的点到点F₁的最短距离3-2

2

，即有a-c=3-2

2

，则有a=3，
b²=a²-c²=1，
故椭圆方程为：

y2

9

+x2=1；
（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦AB被x=-

1

2

平分，
∴直线l的斜率存在．
设直线l：y=kx+m，则
由

y=kx+m x2+ y2 9 =1

，消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
∵l与椭圆交于不同的两点A，B，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2km

9+k2

，
∴

x1+x2

2

=-

km

9+k2

=-

1

2

，∴m=

k2+9

2k

②
把②代入①式中得

(k2+9)2

4k2

-（k²+9）＜0，
∴k＞

3

或k＜-

3

，
∴则存在直线l，且直线l倾斜角α∈（

π

3

，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．