Question

已知函数f（x）=

ax

x2-1

（a＞0）．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并证明；
（3）若函数的定义域和值域同时为[-

1

2

，

1

2

]，求实数a的值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并证明；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系建立条件关系即可．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则x²-1≠0，即x≠±1，
则f（-x）=

-ax

x2-1

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）∵函数f（x）是奇函数
∴只要证明函数f（x）在[0，1）上的单调性即可；
设0≤x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12-1

-

ax2

x22-1

=

a(x2-x1)(x1x2+a)

(x12-1)(x22-1)

，
∵0≤x₁＜x₂＜1，a＞0
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂+a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
则函数f（x）在[0，1）上的单调递减，
故f（x）在（-1，1）上的单调递减．
（3）∵f（x）在（-1，1）上的单调递减，
∴若函数的定义域和值域同时为[-

1

2

，

1

2

]，
则f（

1

2

）=-

1

2

，
即

1 2 a

1 4 -1

=-

1

2

，
解得a=

3

4

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及奇偶性和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．