Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，若函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ） 证明：当x＞1时，f（x）＜g（x）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导，由题意可得

a+b=0 a-b=1

，从而求a，b的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），求导可知F（x）是（0，+∞）上的减函数，且F（1）=0，从而证明当x＞1时，f（x）＜g（x）．

解答： 解：（I）∵f′（x）=

1

x

，g′（x）=a-

b

x2

，
∴由题意可得：

a+b=0 a-b=1

，解得，a=

1

2

，b=-

1

2

．
（Ⅱ）证明：由（I）可知g（x）=

1

2

（x-

1

x

），
令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），
∵F′（x）=-

1

2

（1-

1

x

）²≤0，
∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，
∴当x＞1时，F（x）＜0，
即f（x）＜g（x）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．