Question

已知数列{a_n}与{b_n}，若a₁=3且对任意正整数n满足a_n+1-a_n=2，数列{b_n}的前n项和S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首项利用递推关系式和前n项和公式求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论求出性数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（1）数列{a_n}a₁=3且对任意正整数n满足a_n+1-a_n=2
则：数列为等差数列．
a_n=3+2（n-1）=2n+1
数列{b_n}的前n项和S_n=n²+n．
则：b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
当n=1时，b₁=2符合通项公式．
则：b_n=2n
（2）根据（1）的结论：c_n=

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

]
=

n

4n+4

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．