Question

PM2.5即细颗粒物是指直径在2.5微米以下的颗粒物，能长时间的悬浮在空气中．PM2.5在空气中的含量越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度值以每立方米的微克值来表示，我国规定空气中PM2.5的浓度小于或等于75微克/立方米为达标．某市连续监测了一天中0～12时内PM2.5含量的变化情况，其浓度W（t）（微克/立方米）随时刻t的变化可近似表示如下：W（t）=

5 2 (t-4)2+65                                  0≤t＜6 k(t-6)2-(t-6)+ln[(t-6)+1]+75      6≤t≤12

（1）设k=1，求这一天中0～12时内哪些时间段是达标的？
（2）已知k＞0，如果当t∈（6，12]时，PM2.5的浓度始终大于75微克/立方米，求k的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题意得出x∈[0，6]，g（x）=x²-x+ln（x+1）+75，利用导数求解．
（2）题意g（x）=kx²-x+ln（x+1）+75＞75，?x∈[0，6]成立，利用导数求解，得出：当

1-2k

2k

≤0即k≥

1

2

时，g（x）在（0，6]单调递增，则g（x）＞75，
即得出

1-2k

2k

＞0即k＜

1

2

时成立．

解答： 解：（1）当t∈[0，6）时，令

5

2

(t-4)2+65≤75得2≤t＜6
当t∈[6，12]时，令t-6=x，则x∈[0，6]，g（x）=x²-x+ln（x+1）+75，
g′(x)=2x-1+

1

x+1

=

2x2+x

x+1

＞0
因此，当g（x）在[0，6]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=75
故当2≤t≤6时，PM2.5的浓度达标
（2）由（1）及题意g（x）=kx²-x+ln（x+1）+75＞75，?x∈[0，6]成立
g′(x)=2kx-1+

1

x+1

=

2kx(x- 1-2k 2k )

x+1

所以k≥

1

2

符合要求
当

1-2k

2k

＞0即k＜

1

2

时，g（x）在(0，

1-2k

2k

)单调递减，
则存在x∈（0，6]使g（x）＜g（0）=75，所以k＜

1

2

不符合要求
综上可知k≥

1

2

．

点评：本题考查了基本不等式，导数，在实际问题中的运用，属于中档题．