Question

过点（2，1）作直线l与两坐标轴交于A、B，设三角形AOB的面积为S，下列说法中正确的有

 

．
（1）当S=2时，直线l有2条符合条件的直线；
（2）当S=3时，直线l有3条符合条件的直线；
（3）当S=4时，直线l有4条符合条件的直线；
（4）当S=4时，直线l有3条符合条件的直线；
（5）当S=5时，直线l有4条符合条件的直线．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：由题意设所求直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，可得

2

a

+

1

b

=1，由面积公式可得S=

1

2

|ab|，结合一元二次方程根的个数的判断逐个选项验证可得．

解答： 解：由题意设所求直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
由直线过点（2，1）可得

2

a

+

1

b

=1，
由面积公式可得S=

1

2

|a||b|=

1

2

|ab|，
（1）当S=

1

2

|ab|=2即ab=±4时，可得

1

b

=±

a

4

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-4a+8=0或a²+4a-8=0，
由△₁=（-4）²-4×8＜0和△₂=4²+4×8＞0可知
有两组不同的实数解a和b满足题意，
故条符合条件的直线有2条，故（1）正确；
（2）当S=

1

2

|ab|=3即ab=±6时，可得

1

b

=±

a

6

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-6a+12=0或a²+6a-12=0，
由△₁=（-6）²-4×12＜0和△₂=6²+4×12＞0可知
有两组不同的实数解a和b满足题意，
故条符合条件的直线有2条，故（2）错误；
（3）当S=

1

2

|ab|=4即ab=±8时，可得

1

b

=±

a

8

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-8a+16=0或a²+8a-16=0，
由△₁=（-8）²-4×16=0和△₂=8²+4×16＞0可知
有三组不同的实数解a和b满足题意，
故条符合条件的直线有3条，故（3）错误且（4）正确；
（5）当S=

1

2

|ab|=5即ab=±10时，可得

1

b

=±

a

10

，
代入

2

a

+

1

b

=1整理可得a²-10a+20=0或a²+10a-20=0，
由△₁=（-10）²-4×20＞0和△₂=10²+4×20＞0可知
有四组不同的实数解a和b满足题意，
故条符合条件的直线有4条，故（5）正确．
故答案为：（1）（4）（5）

点评：本题考查直线的截距式方程和三角形的面积公式，涉及一元二次方程根的个数的判断，属中档题．