Question

设函数f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a为实数）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）设a＞

1

2

，求函数f（x）的最小值；
（3）设a＞0，g（x）=

f(x)

x

，x∈（0，a]，若g（x）在区间（0，a]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设a＞

1

2

，利用二次函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小值；
（3）先求出函数g（x）的解析式，再结合单调性的定义即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+|x-a|，
∴f（-x）=x²+|-x-a|=x²+|x+a|，
若a=0，则f（-x）=f（x）=x²+|x|，此时函数为偶函数，
若a≠0，则f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），此时函数为非奇非偶函数．
（2）当x≥a时，f（x）=x²+|x-a|=x²+x-a=（x+

1

2

）²-（a+

1

4

），
当x＜a时，f（x）=x²+|x-a|=x²-x+a=（x-

1

2

）²+（a-

1

4

），
∵a＞

1

2

，
∴当x≥a时，函数的最小值为f（

1

2

）=1-a-

1

4

=

3

4

-a，
当x≤a时，函数的最小值为f（

1

2

）=a-

1

4

，
∵a＞

1

2

，∴a-

1

4

-（

3

4

-a）=2a-1＞0，
∴a-

1

4

＞

3

4

-a，
即函数的最小值为

3

4

-a．
（3）当x∈（0，a]时，
f（x）=x²-x+a，g（x）=

f(x)

x

=x+

a

x

+1，
设x₁，x₂∈（0，a]，且x₂＞x₁＞0，于是x₁x₂-a²＜0，x₁x₂＞0．
∵f（x₁）-f（x₂）=x1+

a

x1

-1-(x2+

a

x2

-1)=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

）＞0
∵x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂，
∴x₁x₂＜a²，
即a≥a²，
解得0＜a≤1，
因此实数a 的取值范围是（0，1]．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，本题综合性较强，运算量较大．