Question

已知锐角△ABC的面积等于3

3

，且AB=3，AC=4．
（1）求sin（

π

2

+A）的值；
（2）求cos（A-B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角形的面积公式列出关系式，将AB，AC的值代入求出sinA的值，根据A为锐角，求出cosA的值，原式利用诱导公式化简后将cosA的值代入计算即可求出值；
（2）利用余弦定理列出关系式，将AB，AC，以及cosA的值代入求出BC的长，再由AC，BC，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵AB=3，AC=4，S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

1

2

×3×4×sinA=3

3

，
∴sinA=

3

2

，
又△ABC是锐角三角形，
∴cosA=

1-sin2A

=

1

2

，
∴sin（

π

2

+A）=cosA=

1

2

；
（2）∵AB=3，AC=4，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=9+16-12=13，即BC=

13

，
由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：sinB=

ACsinA

BC

=

2 39

13

，
又B为锐角，∴cosB=

1-sin2B

=

13

13

，
则cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

×

13

13

+

3

2

×

2 39

13

=

7 13

26

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．