Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y²=x的弦PQ被直线L：x+y-2=0垂直平分，求△OPQ的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出P，Q的坐标，把PQ中点M的坐标用P，Q的坐标表示，由M在L上得P，Q坐标的关系，再由PQ得斜率等于1得P，Q坐标的另一关系，联立方程组求得P，Q的坐标，求出OP，OQ的长度，判断出OP与OQ垂直，然后代入三角形的面积公式求面积．

解答： 解：设P（a，a²），Q（b，b²），中点M（

a+b

2

，

a2+b2

2

）
将M代入L：x+y-2=0，得

a+b

2

+

a2+b2

2

-2=0，即a+b+a²+b²=4  ①．
又PQ垂直L，
∴k_PQ=1，即

a2-b2

a-b

=1，a+b=1  ②．
代入①得：a²-a-1=0，解得：a=

1± 5

2

．
当a=

1+ 5

2

时，b=

1- 5

2

．
当a=

1- 5

2

时，b=

1+ 5

2

．
∴P(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)，Q(

1- 5

2

，

3- 5

2

)，或P(

1- 5

2

，

3- 5

2

)，Q(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)．
∵

1- 5

2

•

1+ 5

2

+

3- 5

2

•

3+ 5

2

=0，
∴OP⊥OQ，
当P(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)，Q(

1- 5

2

，

3- 5

2

)时，|OP|=

( 1+ 5 2 )2+( 3+ 5 2 )2

=

5+2 5

，|OQ|=

( 1- 5 2 )2+( 3- 5 2 )2

=

5-2 5

．
∴S△OPQ=

1

2

×

5+2 5

×

5-2 5

=

5

2

．
当P(

1- 5

2

，

3- 5

2

)，Q(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)时，同理可得S△OPQ=

5

2

．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，解答的关键是充分利用抛物线y²=x的弦PQ被直线L：x+y-2=0垂直平分列P，Q坐标的关系，从而求得P，Q的坐标，考查了计算能力，是中档题．