Question

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，A，B是其左右顶点，P，Q是椭圆上位于x轴两侧的点，PQ与x轴交于点M，当PQ⊥x轴时，|

PQ

|²=b|

AM

|•|

BM

|．
（1）求椭圆方程；
（2）设△BPQ与△APQ的面积分别为S₁，S₂，直线AP，BQ的斜率分别为k₁，k₂，若k₁=7k₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，把椭圆方程用含有b的式子表示，设出M的坐标（t，0），则|BM|=2b-t，|AM|=t+2b，联立

x2+4y2=4b2 x=t

，求得|

PQ

|2=4b2-t2，代入|

PQ

|²=b|

AM

|•|

BM

|求得b的值，则椭圆方程可求；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线PQ的方程为x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0利用根的判别式、韦达定理、直线斜率公式能求出S₁-S₂的最大值．

解答： 解：：（1）∵e=

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，

a2-b2

a2

=

3

4

，则a²=4b²．
∴椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1化为x²+4y²=4b²，
设M（t，0），则|BM|=2b-t，|AM|=t+2b，
联立

x2+4y2=4b2 x=t

，得4y²=4b²-t²，
∴|y_P-y_Q|=

4b2-t2

．
∴得|

PQ

|2=4b2-t2．
又|

PQ

|²=b|

AM

|•|

BM

|．
∴4b²-t²=b（2b-t）（2b+t），解得：b=1．
∴椭圆方程为

x2

4

+y²=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
设直线PQ的方程为x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，
得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，
△=4m²t²-4m²t²-16t²+16m²+64=-16t²+16m²+64，
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP、BQ的斜率分别为k₁，k₂，
∴k₁=

y1

x1+2

，k₂=

y2

x2-2

，
由k₁=7k₂，得

y1

x1+2

=7•

y2

x2-2

，
∴

y12(x2-2)2

y22(x1+2)2

=49，
∴

(1- x12 4 )(x2-2)2

(1- x22 4 )(x1+2)2

=49，
∴

(2-x1)(2-x2)

(2+x1)(2+x2)

=49，
∴12x₁x₂+25（x₁+x₂）+48=0，①
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=

4(t2-m2)

m2+4

，
x₁+x₂=（my₁+t）+（my₂+t）=

8t

m2+4

，
代入①得：6t²+25t+24=0，得t=-

3

2

，或t=-

8

3

（舍去），
∴y1+y2=

3m

m2+4

，y1y2=

-7

4(m2+4)

，
所以|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=(

3m

m2+4

)2+

7

m2+4

=

16m2+28

(m2+4)2

≤

16

9

，
当m²=

1

2

时最大值．
∴S₁-S₂=

1

2

×3×|y1-y2|≤2，
∴S₁-S₂的最大值为2．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积之差的最大值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．