题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，底面平行四边形ABCD⊥平面PAD，且PA=2| 3 |
（1）若点E为PD边中点，试判断直线AE是否平行平面PBC，若平行给出证明，不平行说明理由；
（2）求平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质
专题：空间角
分析：（1）直线AE是不平行平面PBC．以DA，DB，过D垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AE是不平行平面PBC．
（2）分别求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值．
（2）分别求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值．
解答：
解：（1）直线AE是不平行平面PBC．
理由如下：
取AD中点F，连结PF，过F作直线FQ∥AB，交BC于Q，
∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD，
∵面PAD⊥⊥面ABCD，交线为AD，∴PF⊥平面ABCD，
∵AB=4，AP=AD=2
，BD=2，
∴AD⊥BD，以D为原点，
以DA，DB，过D垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴A（2
，0，0），P（
，0，3），
D（0，0，0），C（-2
，2，0）
∵E为PD中点，∴E（
，0，
），B（0，2，0），
∴
=（-
，2，-3），
=（-3
，2，-3），
=（-
，0，
），
设平面PBC的法向量
=(x，y，z)，
则
，
取y=3，得
=（0，3，2），
∵
•
=3，∴直线AE是不平行平面PBC．
（2）∵平面PBC的法向量
=（0，3，2），
设平面PCD的法向量
=（x1，y1，z1），
∵
=（-3
，2，-3），
=（-
，0，-3），
∴
，
取x1=
，得
=（
，3，-1），
设平面PCD与平面PBC所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，
∴sinθ=
=
．
∴平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值是
．
理由如下：
取AD中点F，连结PF，过F作直线FQ∥AB，交BC于Q，
∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD，
∵面PAD⊥⊥面ABCD，交线为AD，∴PF⊥平面ABCD，
∵AB=4，AP=AD=2
| 3 |
∴AD⊥BD，以D为原点，
以DA，DB，过D垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴A（2
| 3 |
| 3 |
D（0，0，0），C（-2
| 3 |
∵E为PD中点，∴E（
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| PB |
| 3 |
| PC |
| 3 |
| AE |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设平面PBC的法向量
| m |
则
|
取y=3，得
| m |
∵
| m |
| AE |
（2）∵平面PBC的法向量
| m |
设平面PCD的法向量
| n |
∵
| PC |
| 3 |
| PD |
| 3 |
∴
|
取x1=
| 3 |
| n |
| 3 |
设平面PCD与平面PBC所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜
| m |
| n |
|
| ||||
|
|
| 7 |
| 13 |
∴sinθ=
1-(
|
2
| ||
| 13 |
∴平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值是
2
| ||
| 13 |
点评：本题考查直线与平面是否垂直的判断与证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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