Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a∈[

1

2

，

3

4

]，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对于含参数的函数f（x）的单调区间的求法，需要进行分类讨论，然后利用导数求出函数的单调性；
（Ⅱ）求出f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，设 g（a）=4a³-12a+8，求出g（a）在[

1

2

，

3

4

]内是减函数，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令f'（x）=0，则x₁=0，x₂=2a，
（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．
（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，2a）	2a	（2a，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数f（x）在区间（-∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．
（Ⅱ）由

1

2

≤a≤

3

4

及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，
又f（2）-f（1）=（8-12a+b）-（1-3a+b）=7-9a＞0，
∴M=f（2），m=f（2a）=8a³-12a³+b=b-4a³，
∴M-m=（8-12a+b）-（b-4a³）=4a³-12a+8，
设 g（a）=4a³-12a+8，
∴g'（a）=12a²-12=12（a+1）（a-1）＜0（a∈[

1

2

，

3

4

]），
∴g（a）在[

1

2

，

3

4

]内是减函数，
故 g（a）_max=g（

1

2

）=2+

1

2

=

5

2

，g（a）_min=g（

3

4

）=-1+4×

33

42

=

11

16

．
∴

11

16

≤M-m≤

5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值和单调性，涉及构造函数的方法，属中档题．