Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，O是底面正方形ABCD 的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：EO∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：DE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，则PA∥EO，由此能证明EO∥平面PAD．
（Ⅱ）推导出BC⊥DC，BC⊥DE，从而DE⊥PC，由此能证明DE⊥平面PBC．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接AC，∵点O是底面正方形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点，又∵E是PC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO…（4分）
∵EO?平面PAD，PA?平面PAD
∴EO∥平面PAD…（5分）
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，且PD?平面PCD，
∴平面PDC⊥平面ABCD，∵底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，
又平面ABCD∩平面PCD=CD，∴BC⊥平面PDC．
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．   ①…（9分）
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，
而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC． ②…（11分）
又BC，PC?平面PBC，且BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．