Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB=（2a+b）cos（π-C）．
（1）求角C的大小；
（2）若c=4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式，正弦定理化简已知可得sinCcosB=（-2sinA-sinB）cosC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得
cosC=-$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（2）利用三角形面积公式可求得ab=4，利用余弦定理即可求得a+b的值．

解答 解：（1）∵ccosB=（2a+b）cos（π-C）．
∴sinCcosB=（-2sinA-sinB）cosC，
∴sin（B+C）=-2sinAcosC，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，可得：ab=4，
由余弦定理可得：c²=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=16，
解得：a+b=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．